KBAT: Penaakulan Geometri Koordinat

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Memilih alat yang betul, menggantikan dengan betul dan menyatakan kesimpulan berjustifikasi masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan sebab.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan geometri koordinat rutin meminta satu kuantiti sahaja: kecerunan, jarak, atau persamaan garis. Soalan KBAT penaakulan meminta anda membuktikan sesuatu, bahawa segi tiga bersudut tegak, bahawa sisi empat itu sebuah segi empat sama, dan memberi justifikasi, bukan sekadar mendakwanya.

Itulah pemikiran aras tinggi, Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: alatnya sudah biasa (kecerunan, jarak, titik tengah), tetapi anda mesti memilih yang betul untuk dakwaan itu dan membina hujah daripadanya. Sudut tegak memerlukan hasil darab kecerunan $-1$ ; bentuk istimewa memerlukan fakta tentang sisi dan sudut bersama.

Tiada apa-apa memberitahu alat mana untuk dicapai. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang menaakul, bukan sekadar mengira.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cubalah sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Diberi titik $A(1,1)$ , $B(5,3)$ dan $C(3,7)$ . (a) Tunjukkan bahawa segi tiga $ABC$ bersudut tegak di $B$ .

(b) Seterusnya cari luas segi tiga $ABC$ . (c) Titik $D$ ialah titik yang menjadikan $ABCD$ sebuah segi empat selari.

Cari koordinat $D$ , dan tentukan sisi empat istimewa yang manakah $ABCD$ , dengan memberi justifikasi jawapan anda.

Show worked solution

Faham. Sudut tegak di $B$ bermakna sisi $BA$ dan $BC$ berserenjang, jadi kita bandingkan kecerunannya.

Luas didapati daripada sudut tegak itu. Bagi bahagian (c), pepenjuru segi empat selari saling membahagi dua sama, dan ini menentukan $D$ ; kemudian panjang sisi dan sudut tegak menentukan nama istimewanya.

Rancang. (a) Cari kecerunan $AB$ dan $BC$ dan tunjukkan hasil darabnya $-1$ .

(b) Guna sudut tegak: luas $=\tfrac{1}{2}\times AB\times BC$ . (c) Guna titik tengah pepenjuru yang sama untuk mencari $D$ , kemudian kira keempat-empat panjang sisi dan gabungkan dengan sudut tegak.

Laksana dan semak. (a) Kecerunan:

m_{AB}=\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad m_{BC}=\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2

Hasil darabnya ialah $m_{AB}\times m_{BC}=\tfrac{1}{2}\times(-2)=-1$ , jadi $AB$ berserenjang dengan $BC$ dan segi tiga itu bersudut tegak di $B$ .

(b) Panjang dua sisi berserenjang itu ialah

AB=\sqrt{(5-1)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}, \quad BC=\sqrt{(3-5)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}

Oleh sebab sudut di $B$ ialah $90^{\circ}$ , luasnya ialah

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}\times AB\times BC=\tfrac{1}{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{20}=\tfrac{1}{2}\times 20=10\ \text{unit}^{2}

(c) Dalam segi empat selari $ABCD$ , pepenjuru $AC$ dan $BD$ saling membahagi dua sama, jadi keduanya berkongsi titik tengah. Titik tengah $AC$ :

\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(2,4)

Biar $D=(x,y)$ . Titik tengah $BD$ mesti juga $(2,4)$ :

\frac{5+x}{2}=2 \Rightarrow x=-1, \qquad \frac{3+y}{2}=4 \Rightarrow y=5

Jadi $D=(-1,5)$ . Untuk menamakan bentuk itu, cari setiap panjang sisi.

Kita sudah ada $AB=\sqrt{20}$ dan $BC=\sqrt{20}$ ; tambahan pula

CD=\sqrt{(-1-3)^{2}+(5-7)^{2}}=\sqrt{20}, \qquad DA=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{20}

Keempat-empat sisi adalah sama, jadi $ABCD$ ialah rombus; dan sudut di $B$ ialah $90^{\circ}$ , jadi ia mempunyai sudut tegak. Rombus yang mempunyai sudut tegak ialah segi empat sama.

Maka $ABCD$ ialah segi empat sama.

Semak. Segi empat sama bersisi $\sqrt{20}$ mempunyai luas $(\sqrt{20})^{2}=20$ , iaitu tepat dua kali luas segi tiga $10$ , selaras, kerana pepenjuru $AC$ memotong segi empat sama itu kepada dua segi tiga yang sama.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila pembuktian geometri koordinat kelihatan terbuka, langkah pertama ialah menterjemah dakwaan itu kepada satu alat. Tanya apa sebenarnya yang dituntut oleh perkataan itu.

'Bersudut tegak' atau 'berserenjang' bermaksud kecerunan yang hasil darabnya $-1$ . 'Sisi sama', 'sama kaki' atau nama bentuk bermaksud jarak antara titik.

'Titik tengah', 'membahagi dua sama' atau 'segi empat selari' menunjuk kepada formula titik tengah. 'Selari' bermaksud kecerunan sama.

Tulis dua atau tiga titik yang terlibat, pilih alat yang sepadan, dan kira, pembuktian itu kemudian hampir menulis dirinya sendiri. Melakar rajah kasar dahulu berbaloi dengan seminit yang diambil: ia memberitahu sisi mana untuk dibandingkan dan selalunya mendedahkan bentuk istimewa sebelum sebarang algebra, jadi anda tahu apa yang hendak dibuktikan.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan penaakulan geometri koordinat, pemeriksa mencari:

Alat yang betul dipilih untuk dakwaan itu, hasil darab kecerunan $-1$ untuk sudut tegak, jarak untuk sisi sama, titik tengah untuk segi empat selari.
Kecerunan atau jarak dikira dengan betul, dengan penggantian ke dalam formula kelihatan.
Bagi sudut tegak, pernyataan jelas bahawa $m_1\times m_2=-1$ , bukan sekadar dua nilai kecerunan.
Titik seperti $D$ dicari melalui kaedah yang dinyatakan (titik tengah pepenjuru yang sama), bukan diteka.
Kesimpulan berjustifikasi,'semua sisi sama dan satu sudut tegak, maka segi empat sama', bukan sekadar nama kosong.
Panjang surd tepat dikekalkan, dan luas diberi dengan unit.

Bagaimana seorang guru membantu

Jurang dalam soalan pembuktian ialah menukar satu perkataan,'berserenjang', 'segi empat sama', kepada alat yang betul, jadi itulah yang guru kami latih. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami membina satu senarai semak mental yang pendek bersama: sudut tegak bermaksud hasil darab kecerunan $-1$ , nama bentuk bermaksud bandingkan jarak, segi empat selari bermaksud titik tengah pepenjuru yang sama.

Kami juga berlatih menulis ayat justifikasi, kerana kesimpulan tanpa sebab menggugurkan markah penaakulan. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membuktikan sudut tegak daripada koordinat?

Cari kecerunan dua sisi yang bertemu di penjuru itu dan tunjukkan hasil darabnya $-1$ . Contohnya, kecerunan $\frac{1}{2}$ dan $-2$ memberi $\frac{1}{2}\times(-2)=-1$ , jadi sisi itu berserenjang dan sudutnya $90^{\circ}$ .

Nyatakan hasil darab itu dengan jelas.

Bagaimana saya mencari verteks keempat sebuah segi empat selari?

Guna fakta bahawa pepenjuru saling membahagi dua sama, jadi keduanya berkongsi titik tengah. Samakan titik tengah satu pepenjuru dengan titik tengah pepenjuru satu lagi dan selesaikan untuk verteks yang tidak diketahui.

Ia lebih boleh dipercayai daripada meneka daripada lakaran.

Bagaimana saya menentukan sisi empat istimewa yang manakah sesuatu bentuk itu?

Gabungkan fakta sisi dan sudut. Semua sisi sama menjadikannya rombus; jika ada sudut tegak juga, ia segi empat sama; pepenjuru sama dengan sudut tegak menunjuk kepada segi empat sama atau segi empat tepat.

Sentiasa akhiri dengan ayat berjustifikasi, seperti 'semua sisi sama dan satu sudut tegak, maka segi empat sama'.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Memilih alat yang betul, menggantikan dengan betul dan menyatakan kesimpulan berjustifikasi masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan sebab.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026