KBAT: Penaakulan Luas & Isi Padu

Q: Mengapa isi padu sebenar hanya separuh silinder?

Luas cakera pada kedudukan xxx ialah πy2=πx\pi y^2=\pi xπy2=πx, yang menaik sepanjang garis lurus dari 000 hingga 4π4\pi4π. Kuantiti yang menaik secara linear mempunyai purata separuh maksimumnya, jadi pepejal itu memenuhi tepat separuh silinder pengurung, 8π8\pi8π berbanding 16π16\pi16π.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Had yang betul, formula yang tepat dan pengamiran yang jelas boleh memperoleh markah baik walaupun nilai akhir salah dipermudah.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan pengamiran rutin memberitahu apa yang hendak dikamir dan antara had yang mana. Soalan KBAT luas dan isi padu meminta anda membina sendiri kamiran daripada rantau yang diperihalkan, menilainya, kemudian menaakul tentang jawapannya, membandingkan isi padu dengan pepejal yang lebih ringkas, atau menerangkan mengapa anggaran cepat itu salah.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: mengamir $\sqrt{x}$ , mengenakan $V=\pi\int y^2\,dx$ dan menilai had semuanya biasa, tetapi di sini anda memutuskan had, memilih formula, dan mewajarkan satu dakwaan tentang bentuk. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang memahami apa yang diukur oleh kamiran, luas atau isi padu terkumpul, bukan pelajar yang hanya mengenakan petua kuasa pada ungkapan bercetak.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Rantau berlorek $R$ terletak dalam sukuan pertama dan dibatasi oleh lengkung $y=\sqrt{x}$ , paksi- $x$ , dan garis $x=4$ . (a) Cari luas $R$ .

(b) Rantau $R$ dikisarkan melalui $360^{\circ}$ pada paksi- $x$ . Cari isi padu pepejal yang dijana, dalam sebutan $\pi$ .

(c) Seorang pelajar menganggar isi padu di (b) dengan menganggap pepejal itu sebagai silinder yang jejarinya ialah tinggi terbesar lengkung dan panjangnya $4$ . Tunjukkan bahawa anggaran ini ialah $16\pi$ , dan terangkan, menggunakan bentuk lengkung, mengapa isi padu sebenar tepat separuh daripadanya.

Show worked solution

Faham. Rantau itu terletak antara lengkung $y=\sqrt{x}$ dan paksi- $x$ , dari $x=0$ (tempat lengkung bertemu paksi) hingga $x=4$ .

Bahagian (a) memerlukan luasnya; bahagian (b) mengisarkannya pada paksi- $x$ untuk membuat pepejal; bahagian (c) membandingkan pepejal itu dengan silinder.

Rancang. Untuk luas, kamir $y=\sqrt{x}$ dari $0$ hingga $4$ .

Untuk isi padu, gunakan $V=\pi\int y^2\,dx$ , yang dipermudah dengan kemas kerana $y^2=x$ . Untuk bahagian (c), cari dimensi silinder daripada tinggi terbesar lengkung, kemudian bandingkan.

Laksana dan semak. (a) Had bawah ialah tempat $y=\sqrt{x}$ bertemu paksi- $x$ , $x=0$ ; had atas ialah $x=4$ .

Maka

\text{Luas}=\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}=\frac{2}{3}(8)-0=\frac{16}{3}\ \text{unit}^2

kerana $4^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{4})^3=2^3=8$ . (b) Mengisar pada paksi- $x$ , $V=\pi\int_{0}^{4}y^2\,dx$ .

Di sini $y^2=(\sqrt{x})^2=x$ , maka

V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}=\pi\left(\frac{16}{2}\right)=8\pi\ \text{unit}^3

(c) Lengkung itu menaik, jadi tinggi terbesarnya pada $0\le x\le 4$ adalah pada $x=4$ , dengan $y=\sqrt{4}=2$ . Silinder berjejari $2$ dengan panjang $4$ mempunyai isi padu

V_{\text{sil}}=\pi r^2 L=\pi(2)^2(4)=16\pi

jadi anggaran pelajar itu ialah $16\pi$ . Isi padu sebenar tepat separuh kerana cakera keratan rentas pada kedudukan $x$ mempunyai luas $\pi y^2=\pi x$ , yang menaik dalam garis lurus dari $0$ pada $x=0$ hingga $4\pi$ pada $x=4$ .

Kuantiti yang menaik secara linear mempunyai purata separuh daripada maksimumnya, jadi pepejal itu memenuhi separuh silinder pengurung: $\tfrac{1}{2}(16\pi)=8\pi$ .

Semak. Keputusan isi padu $8\pi$ sepadan dengan kamiran terus, dan $8\pi$ memang separuh daripada $16\pi$ , jadi penaakulan dan pengiraan selaras.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan luas atau isi padu kelihatan asing, langkah pertama ialah menetapkan had pengamiran daripada geometri, bukan daripada formula. Lakarkan rantau itu dan tanya dua soalan: di mana ia bermula, dan di mana ia berhenti?

Di sini lengkung $y=\sqrt{x}$ bertemu paksi- $x$ pada $x=0$ , dan rantau itu dipotong oleh $x=4$ , jadi hadnya ialah $0$ dan $4$ . Seterusnya putuskan formula yang dikehendaki soalan, luas biasa menggunakan $\int y\,dx$ , manakala kisaran pada paksi- $x$ menggunakan $\pi\int y^2\,dx$ .

Menulis kamiran yang betul dengan hadnya sebelum menilai menukar rajah yang asing kepada pengiraan biasa, dan ia menjamin markah kaedah yang aritmetik seterusnya bergantung padanya.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan bersifat analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan luas dan isi padu, pemeriksa mencari:

Had yang betul diambil daripada geometri, di sini $x=0$ hingga $x=4$ , dengan sebab bagi had bawah.
Formula yang betul dipilih: $\int y\,dx$ untuk luas, $\pi\int y^2\,dx$ untuk kisaran pada paksi- $x$ .
Kamiran dipermudah sebelum dikamir, seperti $y^2=x$ .
Pengamiran dan penggantian had yang betul, dengan kerja $\left[\ \right]_{0}^{4}$ ditunjukkan.
Unit dan faktor $\pi$ dikekalkan dalam isi padu, $8\pi$ , bukan nombor kosong.
Sebab yang jelas bagi perbandingan dalam bahagian (c), mengaitkan luas cakera linear dengan keputusan separuh silinder.

Bagaimana seorang guru membantu

Pengamiran bertambah baik paling cepat apabila pelajar dapat membayangkan rantau itu sebelum menulis kamiran. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami bermula dengan lakaran: kami menanda had, memutuskan luas berbanding isi padu bersama, dan menulis $\pi\int y^2\,dx$ hanya setelah gambar jelas.

Kami juga melatih langkah penaakulan dalam bahagian (c), kerana pemeriksa memberi markah untuk penerangan mengapa sesuatu keputusan benar, bukan sekadar nombornya. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari had pengamiran apabila tiada diberi?

Baca daripada rantau itu. Had bawah ialah tempat lengkung bertemu sempadan, di sini $y=\sqrt{x}$ bertemu paksi- $x$ pada $x=0$ , dan had atas ialah garis yang memotong rantau, $x=4$ .

Lakaran ringkas menjadikan kedua-dua had jelas dan memperoleh markah kaedah.

Bila saya guna

\pi\int y^2\,dx

Gunakannya untuk isi padu yang dijana apabila rantau dikisarkan $360^{\circ}$ pada paksi- $x$ . Setiap keratan nipis menjadi cakera berjejari $y$ dan berluas $\pi y^2$ ; mengamir menjumlahkan cakera itu.

Mengisar pada paksi- $y$ pula menggunakan $\pi\int x^2\,dy$ , jadi sentiasa semak paksi dahulu.

Mengapa isi padu sebenar hanya separuh silinder?

Luas cakera pada kedudukan $x$ ialah $\pi y^2=\pi x$ , yang menaik sepanjang garis lurus dari $0$ hingga $4\pi$ . Kuantiti yang menaik secara linear mempunyai purata separuh maksimumnya, jadi pepejal itu memenuhi tepat separuh silinder pengurung, $8\pi$ berbanding $16\pi$ .

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Had yang betul, formula yang tepat dan pengamiran yang jelas boleh memperoleh markah baik walaupun nilai akhir salah dipermudah.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Penaakulan Luas Dan Isi Padu